Petekler, bal peşinde olan ayılar, ya da türlü yırtıcı hayvanattan sakınma maksadıyla + alan tasarrufu hedeflenerek oluşturulan yapılardır. Zira ne kadar az alanda ne denli çok petek olursa; yuva, yani kovan, o ölçüde verimli bir depolama, üreme vs. bölgesi olur.
Petek; seri olarak pek çok arının aynı anda gerçekleştirdiği birbirine yapışan silindirik yumuşak duvarların istiflendikçe birbirine değen yüzeylerinin köşelenmesi halidir yalnızca.
Daha teknik bir anlatım dili seçecek olursak:
A - Kapasitesi en büyük.
B - En az alan kaplayacak.
C - Yapımı, dolayısıyla DNA'ya kodlanması en kolay.
D - En sağlam.
Petek şekli hangisidir?
Şimdi, tek tek ele alırsak...
İlkin, bir düzlemi kendi kendini tekrar ederek kaplayan kaç şekil olduğunu bulmamız icap eder. N kenarlı bir çokgende bir iç açının ölçüsü [(n-2)*180]/n formülüyle bulunur. Bizim istediğimiz şekil ise hiç boşluk bırakmayacak bir biçimde birleşmelidir. Şekil X kenarlıdır diyelim... Bunlardan kaç tanesinin bir köşesinin iç açısı toplamı 360 yapardı diye düşünürsek [(n-2)*180*x]/n=360 yazabiliriz.
(n-2)*x=2n --> nx-2x-2n=0 --> nx-2x-2n+4-4=0 --> (n-2)(x-2)=4 olur. Yalnızca pozitif tam sayıları kenar sayısı olarak alabileceğimizden.
n=6 ve x=3 olabilir yani 3 adet düzgün altıgen (bkz: petek.)
n=6 ve x=6 olabilir yani 6 adet eşkenar üçgen.
n=4 ve x=4 olabilir yani 4 adet kare.
Bizim kodlayacağımız arıların, petekleri en az malzeme kullanarak yapmaları lazımdır. İşte bu zorunluluk yüzünden, arıların yaptıkları petekler maksimum bal alacak alana sahip olmalıdır.
Arı petekleri, çevresi p olan bir kare olsaydı:
(p/4)^2= yani 0,0625*p^2
Arı petekleri, çevresi p olan bir eşkenar üçgen olsaydı:
[(p^2)*kok3]/36 yani 0,0481*p^2
Arı petekleri, çevresi p olan bir düzgün altıgen olsaydı:
[(p^2)*kok3]/24 yani 0,0721*p^2
Netice olarak: Aynı çevreye sahip olmak şartı ile, bir yüzeyi kendini tekrar ederek kaplayan en çok bal alabilecek şekil, düzgün altıgen peteklerdir.
